极限论与微分学新探
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资料介绍
极限论与微分学新探
出版时间：2014年版
内容简介
这是一本探索性的书．笔者试图将实数、极限和微分学这些数学分析的基础理论用现代分析的观点来处理．《极限论与微分学新探》既要将上述理论的基本内容全部覆盖，又要将原内容赋予一系列的发展和创新．这是一本“雅俗共赏”的书，《极限论与微分学新探》通俗，是因为阅读《极限论与微分学新探》的预备知识仅仅需要初等数学知识（中学内容）；而《极限论与微分学新探》“雅”，则是因为其观点新、技巧性强且创新内容多．这是一本培养创造性思维的书．《极限论与微分学新探》讲述由浅而深，从形象到抽象；并特别注意引导读者去“举一反三”，从各种“（正）例”“反例”以及“注”的学习中学会联想，并发现且引导出新的结果．《极限论与微分学新探》既可以作为数学分析的教材，亦可作为高年级大学生、研究生和需用此相应知识的科教人员的参考书．
目录
第 1 章 实数的完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 有理数集 Q 的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 四则运算性质 (代数结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 全序性质 (序结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 拓扑结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 实数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 实数的其他公理化引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 数列极限初论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 定义实数的各公理所对应的完备化定理间之等价性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 任何抽象距离空间之完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.7 极限点定理与有限覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
第 2 章 数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 数列极限的存在. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2 数列极限存在的某些传递性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Stolz(施笃兹) 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 11
,
0
0
与 11 型极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
2.5 数列的上、下极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
第 3 章 数项级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 级数的敛散性及该性质的传递性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 同号项级数的敛散性及其判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 变号级数的收敛 (条件收敛) 与绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的重排级数之特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 级数的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 累次级数与二重级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.7 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
￠ viii ￠ 目 录
第 4 章 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1 集的映射与函数 (泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 函数的极限及其存在性判别法 (含：函数的上、下极限) . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 函数极限的基本性质及其存在性的传递. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
4.4 无穷小量 (或无穷大量) 之间的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
4.5 函数在一点的连续性及相关性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5.1 多项式函数的连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
4.5.2 三角函数和反三角函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5.3 对数函数和指数函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5.4 幂函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 距离空间中的泛函 (函数) 之极限性质 (含：方向极限、
累次极限与重极限) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7 距离空间的初等拓扑性质 (含：上、下半连续泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 紧集上连续泛函 (函数) 的整体性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
4.9 连通集上连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.10 有限维赋范空间中的线性泛函与凸泛函. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
第 5 章 一元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
5.1 导数及其求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2 高阶导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300
5.3 函数的单调性、局部极值性、凸凹性及作图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4 微分中值公式与求不定型极限的 L0Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.5 函数的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 Taylor 定理 (公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 6 章 多元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.1 偏导数 (含：方向导数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.2 多元函数的微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
6.3 空间 Rn 到 Rm 中映像 (算子) 的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.4 隐函数 (隐映像) 定理及逆映像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
6.5 Taylor 公式及条件极值理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457
6.6 几何上的几点应用 (切线、切面及法向量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
出版时间：2014年版
内容简介
这是一本探索性的书．笔者试图将实数、极限和微分学这些数学分析的基础理论用现代分析的观点来处理．《极限论与微分学新探》既要将上述理论的基本内容全部覆盖，又要将原内容赋予一系列的发展和创新．这是一本“雅俗共赏”的书，《极限论与微分学新探》通俗，是因为阅读《极限论与微分学新探》的预备知识仅仅需要初等数学知识（中学内容）；而《极限论与微分学新探》“雅”，则是因为其观点新、技巧性强且创新内容多．这是一本培养创造性思维的书．《极限论与微分学新探》讲述由浅而深，从形象到抽象；并特别注意引导读者去“举一反三”，从各种“（正）例”“反例”以及“注”的学习中学会联想，并发现且引导出新的结果．《极限论与微分学新探》既可以作为数学分析的教材，亦可作为高年级大学生、研究生和需用此相应知识的科教人员的参考书．
目录
第 1 章 实数的完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 有理数集 Q 的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 四则运算性质 (代数结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 全序性质 (序结构) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3 拓扑结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 实数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.3 实数的其他公理化引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 数列极限初论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 定义实数的各公理所对应的完备化定理间之等价性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 任何抽象距离空间之完备性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.7 极限点定理与有限覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
第 2 章 数列的极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 数列极限的存在. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2 数列极限存在的某些传递性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Stolz(施笃兹) 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 11
,
0
0
与 11 型极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
2.5 数列的上、下极限. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
第 3 章 数项级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 级数的敛散性及该性质的传递性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2 同号项级数的敛散性及其判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 变号级数的收敛 (条件收敛) 与绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的重排级数之特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.5 级数的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.6 累次级数与二重级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.7 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
￠ viii ￠ 目 录
第 4 章 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.1 集的映射与函数 (泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 函数的极限及其存在性判别法 (含：函数的上、下极限) . . . . . . . . . . . . . . 175
4.3 函数极限的基本性质及其存在性的传递. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
4.4 无穷小量 (或无穷大量) 之间的比较. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
4.5 函数在一点的连续性及相关性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.5.1 多项式函数的连续性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
4.5.2 三角函数和反三角函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.5.3 对数函数和指数函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.5.4 幂函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.6 距离空间中的泛函 (函数) 之极限性质 (含：方向极限、
累次极限与重极限) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.7 距离空间的初等拓扑性质 (含：上、下半连续泛函) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 紧集上连续泛函 (函数) 的整体性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
4.9 连通集上连续函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.10 有限维赋范空间中的线性泛函与凸泛函. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265
第 5 章 一元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286
5.1 导数及其求法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.2 高阶导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300
5.3 函数的单调性、局部极值性、凸凹性及作图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.4 微分中值公式与求不定型极限的 L0Hospital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.5 函数的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.6 Taylor 定理 (公式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 6 章 多元函数的微分学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.1 偏导数 (含：方向导数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384
6.2 多元函数的微分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
6.3 空间 Rn 到 Rm 中映像 (算子) 的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.4 隐函数 (隐映像) 定理及逆映像定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .434
6.5 Taylor 公式及条件极值理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457
6.6 几何上的几点应用 (切线、切面及法向量) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
