GB/T 10094-2009 正态分布分位数与变异系数的置信限

　　ICS 03 . 120 . 30 A 4 1

　　中 华 人 民 共 和 国 国 家 标 准

　　GB/T 10094—2009

　　代替 GB/T 10094—1988 , GB/T 11791—1989 , GB/T 14438—1993

　　正态分布分位数与变异系数的置信限

　　Confidencelimitsofquantileand coefficientofvariation

　　fornormaldistribution

　　2009-10-15 发布 2010-02-01 实施

　　中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局中 国 国 家 标 准 化 管 理 委 员 会

　　

　　发

　　

　　布

　　GB/T 10094—2009

　　目 次

　　前言 Ⅰ

　　1 范围 1

　　2 规范性引用文件 1

　　3 术语 、定义和符号 1

　　3 . 1 术语和定义 1

　　3 . 2 符号 3

　　4 正态分布分位数的置信区间 3

　　4 . 1 单侧置信下限 3

　　4 . 2 单侧置信上限 3

　　4 . 3 双侧置信上 、下限 3

　　4 . 4 示例 4

　　5 正态分布变异系数置信上限 4

　　5 . 1 精确置信上限 4

　　5 . 2 置信上限的近似求法 5

　　5 . 3 示例 5

　　附录 A(规范性附录) K 系数表 6

　　GB/T 10094—2009

　　前 言

　　“数据的统计处理和解释 ”包括以下国家标准：

　　—GB/T 3359

　　统计容忍区间的确定

　　数据的统计处理和解释

　　—GB/T 3361

　　数据的统计处理和解释

　　在成对观测值情形下两个均值的比较

　　—GB/T 4087

　　数据的统计处理和解释

　　二项分布可靠度单侧置信下限

　　—GB/T 4088

　　数据的统计处理和解释

　　二项分布参数的估计与检验

　　—GB/T 4089

　　数据的统计处理和解释

　　泊松分布参数的估计和检验

　　—GB/T 4882

　　正态性检验

　　数据的统计处理和解释

　　—GB/T 4883

　　数据的统计处理和解释

　　正态样本离群值的判断和处理

　　—GB/T 4885

　　正态分布完全样本可靠度置信下限

　　—GB/T 4889

　　数据的统计处理和解释 正态分布均值和方差的估计与检验

　　—GB/T 4890

　　数据的统计处理和解释 正态分布均值和方差检验的功效

　　—GB/T 6380

　　数据的统计处理和解释 Ⅰ 型极值分布样本离群值的判断和处理

　　—GB/T 8055

　　数据的统计处理和解释 Γ 分布(皮尔逊 Ⅲ型分布)的参数估计

　　—GB/T 8056

　　数据的统计处理和解释 指数分布样本离群值的判断和处理

　　—GB/T 10092

　　数据的统计处理和解释 测试结果的多重比较

　　—GB/T 10094

　　正态分布分位数与变异系数的置信限

　　本标准代替 GB/T 10094—1988《正态分布分位数 狓P 置信区间》、GB/T 11791—1989《正态分布变差系数置信上限》和 GB/T 14438—1993《定限内正态概率的置信下限》。

　　本标准与 GB/T 10094—1988 、GB/T 11791—1989 和 GB/T 14438—1993 相比主要变化如下：

　　— 按 GB/T 1 . 1—2000《标准化工作导则 第 1 部分：标准的结构和编写规则》的要求对标准格式进行了修订;

　　— 将 GB 10094—1988 附录 A示例中的例子放入正文 。

　　本标准由全国统计方法应用标准化技术委员会(SAC/TC 21)提出并归 口 。

　　本标准主要起草单位：中国科学技术大学 、北京大学 、中国标准化研究院 。

　　本标准主要起草人：吴耀华 、孙山泽 、于振凡 、丁文兴 、周正伐等 。

　　本标准所代替标准的历次版本发布情况为：

　　—GB/T 10094—1988 ;

　　—GB/T 11791—1989 ;

　　—GB/T 14438—1993 。

　　Ⅰ

　　GB/T 10094—2009

　　正态分布分位数与变异系数的置信限

　　1 范围

　　本标准规定了在给定置信水平下正态分布分位数置信区间和变异系数置信上限的确定方法 。

　　本标准适用于正态分布的总体 。

　　2 规范性引用文件

　　下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款 。凡是注 日期的引用文件，其随后所有的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准，然而，鼓励根据本标准达成协议的各方研究是否可使用这些文件的最新版本 。凡是不注 日期的引用文件，其最新版本适用于本标准 。

　　GB/T 3358 . 1 统计学词汇及符号 第 1 部分：一般统计术语与用于概率的术语(GB/T 3358 . 1 — 2009 , ISO 3534-1:2006 , IDT)

　　GB/T 3358 . 2 统计学词汇及符号 第 2 部分：应用统计(GB/T 3358 . 2—2009 , ISO 3534-2 : 2006 , IDT)

　　GB/T 4086 . 1 统计分布数值表 正态分布

　　GB/T 4086 . 2 统计分布数值表 χ2 分布

　　GB/T 15932—1995 非中心 t分布分位数表

　　GB/T 4885—2009 正态分布完全样本可靠度置信下限

　　3 术语 、定义和符号

　　3 . 1 术语和定义

　　GB/T 3358 . 1 和 GB/T 3358 . 2 确立的术语和定义以及下列术语和定义适用于本标准 。 为便于参考，某些术语直接引 自上述标准 。

　　3 . 1 . 1

　　p 分位数 p-quantile;p-fractile

　　Xp，xp

　　对 0

　　示例 1 ：考虑二项分布，表 1 给出参数 n= 6 , p= 0 . 3 的二项分布的概率质量函数 。分布的某些 p 分位数为： X0 . 1 = 0

　　X0 . 25 = 1

　　X0 . 5 = 2

　　X0 . 75 = 3

　　X0 . 90 = 3

　　X0 . 95 = 4

　　X0 . 99 = 5

　　X0 . 999 = 5

　　由于二项分布是离散的，它的 p 分位数都是整数 。

　　1

　　GB/T 10094—2009

　　表 1 二项分布的示例

　　r

　　P(X=r)

　　P(X≤r)

　　P(X≥r)

　　0

　　0 . 117 649

　　0 . 117 649

　　0 . 882 351

　　1

　　0 . 302 526

　　0 . 420 175

　　0 . 579 825

　　2

　　0 . 324 135

　　0 . 744 310

　　0 . 255 690

　　3

　　0 . 185 220

　　0 . 929 530

　　0 . 070 470

　　4

　　0 . 059 535

　　0 . 989 065

　　0 . 010 935

　　5

　　0 . 010 206

　　0 . 999 271

　　0 . 000 729

　　6

　　0 . 000 729

　　1 . 000 000

　　0 . 000 000

　　示例 2：对 于 标 准 正 态 分 布，表 2 给 出 了 某 些 数 值 分 布 函 数 及 对 应 的 p 分 位 数(参 见 GB/T 4086 . 1 正 态 分 布 分 位

　　数表)：

　　表 2 标准正态分布示例

　　p

　　满足 P(X≤r)=p的 r

　　0 . 1

　　- 1 . 282

　　0 . 25

　　-0 . 674

　　0 . 5

　　0 . 000

　　0 . 75

　　0 . 674

　　0 . 841 344 75

　　1 . 000

　　0 . 9

　　1 . 282

　　0 . 95

　　1 . 645

　　0 . 975

　　1 . 960

　　0 . 99

　　2 . 326

　　0 . 995

　　2 . 576

　　0 . 999

　　3 . 090

　　由于 X 的分布是连续的，第二列的标题也可以写为：满足 P(X

　　注 1 ：对于连续分布，如果 p 是 0 . 5 ,则 0 . 5 分位数即为中位数(2 . 14) 。对 p 等于 0 . 25 ,相应的 0 . 25 分位数被称为下四分位数 。对于连续分布，分布的 25%低于 0 . 25 分位数而分布的 75%高于 0 . 25 分位数 。 当 p 等于 0 . 75 ,相应的 0 . 75 分位数被称为上四分位数 。

　　注 2：通常，分布中的 100p%小于 p 分位数;分布中的 100(1-p)%大于 p 分位数 。但很难确定离散分布的中位数，因为会有很多值满足定义 。

　　注 3 ：如果 F 是连续和严格递增的，则 p 分位数是 F(r)=p的解，此时定义中的 “下确界 ”可被替换为 “最小值 ”。

　　注 4：如果分布函数在某一个区间上都等于常数 p，则这个区间上的所有值都是这个分布的 p 分位数 。

　　注 5 ：p 分位数的定义仅适用于一维分布 。

　　3 . 1 . 2

　　变异系数 coefficientofvariation

　　犆v

　　〈正随机变量〉标准差除以非零的均值 。

　　注 1 ：变异系数通常用百分数表示 。

　　注 2：不赞成使用以前的术语 “相对标准差 ”。

　　2

　　GB/T 10094—2009

　　3 . 1 . 3

　　置信区间 confidenceinterval

　　参数 θ 的区间估计(T0 , T1 ) , 其中作为区间限的统计量 T0 , T1 ,满足 P[T0 <θ

　　注 1 ：置信度反映了在同一条件下长序列重复随机抽样中，置信区间包含参数真值的比例 。置信区间并不能反映观测到的区间包含参数真值的概率(观测到的区间只能或是包含或是不包含)。

　　注 2：一个与置信区间相关的特性是 100(1-α) %,其中α是一个小的数 。这个特性称为置信系数或置信水平，通常取为 5%或 99% 。对任意确定但未知的总体 θ值，P[T0 <θ

　　3 . 2 符号

　　下列符号适用于本标准 。

　　n：样本量

　　μ：总体均值

　　σ：总体标准差

　　x：正态随机变量 X 的观测值

　　-

　　x：样本均值

　　s：样本标准差

　　1-α：置信水平

　　xp：概率分布的 p 分位数

　　CU ：xp 的置信上限

　　CL ：xp 的置信下限

　　CV=σ/μ：总体变异系数

　　-

　　cv=s/x：样本变异系数

　　tα (υ;δ) ：自 由度为 υ、非中心参数为 δ 的非中心 t分布的α 分位数

　　CVU ：总体变异系数的置信上限

　　4 正态分布分位数的置信区间

　　4 . 1 单侧置信下限

　　正态分布分位数 xp 的置信水平为 1 - α 的单侧置信下限 CL 由式(1)确定：

　　-

　　CL ={x(x)- sK(sK)α(1)-,α当，p(当).05. 05时(0)时 …………………………( 1 )

　　其中 Kα 和 K1-α可利用附录 A查出，在 K 系数表中对应于样本量为n，R=1-p，γ= α 可查得 Kα ,对应于样本量为 n，R=p，γ= 1 - α 可查得 K1 - α。

　　4 . 2 单侧置信上限

　　正态分布分位数 xp 的置信水平为 1 - α 的单侧置信上限 CU 由式(2)确定：

　　-

　　CU ={x(x)- sK(sK)1(α)-,α当，当(p)p(≤).0505 0(时)时 …………………………( 2 )

　　其中 Kα 和 K1-α可利用附录 A查出，在 K 系数表中对应于样本量为n，R=1-p，γ= α 可查得 Kα ,对应于样本量为 n，R=p，γ= 1 - α 可查得 K1 - α。

　　4 . 3 双侧置信上 、下限

　　正态分布分位数 xp 的置信水平为 1 - α 的双侧置信下限 CL 由式(3)确定：

　　-

　　CL ={x(x)- sK(sK)α(1)/2(-)α/,2当，p(当).05. 05时(0)时 …………………………( 3 )

　　双侧置信上限 CU 由式(4)确定：

　　3

　　GB/T 10094—2009

　　CU ={ SK(SK)1(α)-(/2)α/,2当，当(P)P(≤).0505 0(时)时 ……………………………( 4 )

　　(3) 、(4) 两 式 中 Kα/2 和 K1-α/2 可 利 用 附 录 A 查 出，在 K 系 数 表 中 对 应 于 样 本 量 为 n，R= 1 - P， 可查得 Kα/2 ,对应于样本量为 n，R=P可查得 K1-α/2 。

　　4 . 4 示例

　　示例 1 ：某市气象台测得该市 72 年的年降雨量数据如下(单位：mm) :

　　1 063 . 8 , 1 004 . 9 , 1 086 . 2 , 1 022 . 5 , 1 330 . 9 , 1 439 . 4 , 1 236 . 5 , 1 088 . 1 , 1 288 . 7 , 1 115 . 8 ,

　　1 217 . 5 , 1 320 . 7 , 1 078 . 1 , 1 203 . 4 , 1 480 . 0 , 1 269 . 9 , 1 049 . 2 , 1 318 . 4 , 1 192 . 0 , 1 016 . 0 ,

　　1 508 . 2 , 1 159 . 6 , 1 021 . 3 , 986 . 1 , 794 . 7 , 1 318 . 3 , 1 171 . 2 , 1 161 . 7 , 791 . 2 , 1 143 . 8 ,

　　1 602 . 0 , 951 . 4 , 1 003 . 2 , 840 . 4 , 1 061 . 4 , 958 . 0 , 1 025 . 2 , 1 265 . 0 , 1 196 . 5 , 1 120 . 7 ,

　　1 659 . 3 , 942 . 7 , 1 123 . 3 , 910 . 2 , 1 398 . 5 , 1 208 . 6 , 1 305 . 5 , 1 242 . 3 , 1 572 . 3 , 1 416 . 9 ,

　　1 256 . 1 , 1 285 . 9 , 984 . 8 , 1 390 . 3 , 1 062 . 2 , 1 287 . 3 , 1 477 . 0 , 1 017 . 9 , 1 217 . 7 , 1 197 . 1 ,

　　1 143 . 0 , 1 018 . 8 , 1 243 . 7 , 909 . 3 , 1 030 . 3 , 1 124 . 4 , 811 . 4 , 820 . 9 , 1 184 . 1 , 1 107 . 5 ,

　　991 . 4 , 901 . 7 。

　　经检验年降雨量 X 服从正态分布，求置信水平 0 . 90 时 10%分位数 x0 . 10 和 90%分位数 x0 . 90 的双侧置信限 。

　　由数据算得样本均值和样本标准差分别为：

　　x(珚)= 1 154 . 78 , S= 159 . 562

　　根据式(3) 、式(4) 知置信水平 0 . 90 时分位数 x0 . 10 的双侧置信下 、上限分别为：

　　CL = x(珚)-SK0 . 95 , CU = x(珚)-SK0 . 05

　　置信水平 0 . 90 时分位数 x0 . 90 的双侧置信下 、上限分别为：

　　CL = x(珚)+SK0 . 05 , CU = x(珚)+SK0 . 95

　　对应 n= 72 , R= 0 . 90 ,查附录 A得：

　　K0 . 05 = 1 . 043 , K0 . 95 = 1 . 577

　　故得到分位数 x0 . 10 的双侧置信下 、上限分别为：

　　CL = 847 . 012 , CU = 951 . 228

　　分位数 x0 . 10 的双侧置信下 、上限分别为：

　　CL = 1 358 . 336 , CU = 1 462 . 552

　　示例 2：某种高温合金钢的寿命 t的分布是对数正态分布，取 12 个试样在 660 ℃温度和 4 kgf/mm2 (39 . 226 6 MPa)

　　应力下进行寿命试验，得数据如下(单位：h) :

　　935 , 1 025 , 1 081 , 1 180 , 1 197 , 1 234 , 1 328 , 1 521 , 1 621 , 1 621 , 1 694 , 1 933 。

　　求置信水平 0 . 90 时寿命分布 1%分位数 t0. 01 的置信下限 。

　　对试验数据 ti(i= 1 , … , 12) 取对数 xi=lnti，则 x1 ,…, x12 是正态分布的样本，计算得样本均值和样本标准差为：

　　x(珚)= 7 . 194 9 , S= 0 . 225 8

　　根据式(1) ,正态分布的 1%分位数 x0 . 01 的置信水平 0 . 90 的置信下限为：

　　CL = x(珚)-SK0 . 90 = 7 . 194 9 - 0 . 225 8 × 3 . 371 = 6 . 433 7

　　其中 K0 . 90 = 3 . 371 是对应 n=12 , R=1-P= 0 . 99 ,γ= 1 - α= 0 . 90 从附录 A查出 。

　　故置信水平 0 . 90 时寿命分布 1%分位数 t0. 01 的置信下限为：

　　e6 . 433 7 = 622 . 47(h)

　　5 正态分布变异系数置信上限

　　5 . 1 精确置信上限

　　正态总体变异系数 CV 的置信上限 CVU 由式(5)确定：

　　K …………………………( 5 )

　　4

　　GB/T 10094—2009

　　—

　　其中 K=x/S=1/CV，(CV-1 ) L 的值可以利用 GB/T 15932—1995 进行线性插值来得到 。

　　5 . 2 置信上限的近似求法

　　当 CV<0 . 30 , n≥6 时，正态总体变异系数置信上限 CVU 的近似公式为：

　　CV

　　其中 χ1(2)-α(n-1) 表 示 自 由 度 为 n- 1 的 χ2 分 布 的 1 - α 分 位 数，其 值 可 由 χ2 分 位 数 表 查 得(见

　　GB/T 4086 . 2) 。

　　5 . 3 示例

　　一批碳环氧壳体，从中随机抽取 9 件进行强度试验，测得破坏值分别为(单位：h) : 7 . 92 , 7 . 25 , 7 , 8 . 58 , 7 , 6 . 67 , 6 . 75 , 6 . 87 , 6 . 92 。求置信水平为 0 . 90 时这批壳体强度的变差系数置信上限 。

　　由数据算得样本均值和样本标准差分别为：

　　—

　　x = 7 . 217 8 , S= 0 . 629 6

　　a) 精确方法

　　由/K =/× 7 . 217 8/0 . 629 6 = 34 . 392 3 ,查非中心 t分布表(见 GB/T 15932—1995) ,用线性插值得：

　　/(CV-1 ) L = 22 . 640 9

　　故有

　　CVU = 1/(CV-1 ) L = 0 . 132 5

　　b) 近似方法

　　查 χ2 分位数表(见 GB/T 4086 . 2) :

　　χ0(2). 90 (8) = 3 . 49

　　由式(6)算得：

　　CVU = 0 . 131 6

　　5

　　GB/T 10094—2009

　　附 录 A

　　(规范性附录) K 系数表

　　本系数表的参数范围与表距为：

　　γ=0 . 01 , 0 . 05 , 0 . 10 , 0 . 20 , 0 . 40(0 . 10)0 . 90 , 0 . 95 , 0 . 99

　　RL =0 . 50 , 0 . 60(0 . 05)0 . 95 , 0 . 99 , 0 . 9 2 5 , 0 . 9 3 , 0 . 9 3 5 , 0 . 9 4 , 0 . 9 4 5 , 0 . 9 5 , 0 . 9 6 , 0 . 9 7 n=2(1)50(10) 120

　　6

　　GB/T 10094—2009

　　γ= . 0 1

　　RL

　　. 5000000

　　. 6000000

　　. 6500000

　　. 7000000

　　. 7500000

　　. 8000000

　　n

　　2 . 0 - 22 . 50050

　　- 13 . 82057

　　- 10 . 38587

　　- 7 . 49399

　　- 5 . 10993

　　- 3 . 20381

　　3 . 0 - 4 . 02099

　　- 2 . 72777

　　- 2 . 16862

　　- 1 . 66198

　　- 1 . 20445

　　- . 79235

　　4 . 0 - 2 . 27035

　　- 1 . 56282

　　- 1 . 24579

　　- . 94930

　　- . 67027

　　- . 40463

　　5 . 0 - 1 . 67569

　　- 1 . 14491

　　- . 90191

　　- . 67023

　　- . 44679

　　- . 22724

　　6 . 0 - 1 . 37373

　　- . 92414

　　- . 71523

　　- . 51345

　　- . 31568

　　- . 11743

　　7 . 0 - 1 . 18782

　　- . 78401

　　- . 59430

　　- . 40935

　　- . 22598

　　- . 03965

　　8 . 0 - 1 . 05994

　　- . 68526

　　- . 50775

　　- . 33344

　　- . 15915

　　. 01973

　　9 . 0 - . 96549

　　- . 61089

　　- . 44174

　　- . 27471

　　- . 10659

　　. 06727

　　10 . 0 - . 89222

　　- . 55225

　　- . 38917

　　- . 22740

　　- . 06371

　　. 10660

　　11 . 0 - . 83331

　　- . 50445

　　- . 34596

　　- . 18814

　　- . 02776

　　. 13993

　　12 . 0 - . 78464

　　- . 46450

　　- . 30959

　　- . 15484

　　. 00300

　　. 16869

　　13 . 0 - . 74358

　　- . 43044

　　- . 27839

　　- . 12609

　　. 02974

　　. 19389

　　14 . 0 - . 70832

　　- . 40094

　　- . 25124

　　- . 10092

　　. 05329

　　. 21622

　　15 . 0 - . 67764

　　- . 37506

　　- . 22730

　　- . 07862

　　. 07427

　　. 23621

　　16 . 0 - . 65062

　　- . 35211

　　- . 20599

　　- . 05868

　　. 09311

　　. 25425

　　17 . 0 - . 62659

　　- . 33157

　　- . 18684

　　- . 04070

　　. 11017

　　. 27066

　　18 . 0 - . 60503

　　- . 31304

　　- . 16952

　　- . 02437

　　. 12572

　　. 28566

　　19 . 0 - . 58556

　　- . 29621

　　- . 15373

　　- . 00944

　　. 13998