现代数值分析方法（科学版）
出版时间：2014年版
丛编项： 研究生教学丛书
内容简介
　　现代数值分析方法主要介绍了现代数值分析的基本方法以及数值分析方法在电路系统中的一些应用.现代数值分析方法内容比较全面，系统性较强，基本概念清晰准确，语言叙述通俗易懂，理论分析科学严谨，结构编排由浅入深，注重启发性，易于教学.前8章每章都附有一定数量的习题，供读者学习时进行练习.
目录

前言第 1章引论 1
1.1现代数值分析方法的研究内容 1
1.2误差基础知识 2
1.2.1误差来源与分类 2
1.2.2绝对误差和相对误差 4
1.2.3有效数字 5
1.2.4数据误差在运算中的传播 7
1.3数值计算中应注意的问题 8
1.3.1算法的数值稳定性 9
1.3.2避免误差危害的若干原则 .10习题 1 . 13第 2章线性代数方程组数值方法 14
2.1向量与矩阵基本知识 14
2.1.1引言 14
2.1.2向量和矩阵 15
2.1.3特殊矩阵 16
2.1.4向量与矩阵的范数 . 18
2.2高斯消去法 22
2.2.1高斯顺序消去法 23
2.2.2高斯主元消去法 28
2.3矩阵的三角分解 .30
2.3.1直接三角分解法 32
2.3.2平方根法 36
2.3.3解三对角方程组的追赶法 .41
2.4矩阵的条件数与方程组的性态 43
2.5解线性代数方程组的迭代法 . 50
2.6基本迭代法 52
2.6.1雅可比迭代法 (J-迭代法 ) 53
2.6.2高斯 –赛德尔迭代法 (GS-迭代法 ) 55
2.6.3逐次超松弛迭代法 (SOR-迭代法 ) 56
2.7迭代法的收敛性 .58
2.7.1一般迭代法的基本收敛定理 58
2.7.2 J-迭代法和 GS-迭代法收敛判定定理 . 65
2.7.3 SOR-迭代法收敛性判定定理 66
2.8最速下降法与共轭梯度法 69
2.8.1最速下降法 69
2.8.2共轭梯度法 71习题 2 . 76第 3章非线性方程 (组)数值方法 80
3.1二分法 80
3.2迭代法 82
3.2.1不动点迭代法 82
3.2.2不动点迭代的一般理论 84
3.3加速迭代收敛的方法 88
3.3.1两个迭代值组合的加速方法 88
3.3.2三个迭代值组合的加速方法 90
3.4牛顿迭代法 92
3.4.1单根情形的牛顿迭代法 92
3.4.2重根情形的牛顿迭代法 97
3.4.3牛顿下山法 98
3.5弦割法与抛物线法 100
3.5.1弦割法 100
3.5.2抛物线法 105
3.6非线性方程组零点的迭代方法 107
3.6.1实值向量函数的基本概念与性质 107
3.6.2压缩映射原理与不动点迭代法 111
3.6.3牛顿迭代法 115习题 3 120第 4章函数插值 122
4.1多项式插值问题 122
4.1.1代数插值问题 . 122
4.1.2代数插值多项式的存在性与唯一性 123
4.1.3误差估计 124
4.2拉格朗日插值法 125
4.2.1拉格朗日插值基函数 .126
4.2.2拉格朗日插值多项式 .128
4.2.3拉格朗日插值法截断误差及其实用估计 129
4.2.4拉格朗日反插值方法 .131
4.3牛顿插值法 133
4.3.1差商的概念与性质 133
4.3.2牛顿插值公式 . 135
4.4等距节点插值公式 136
4.4.1差分的定义及运算 137
4.4.2差分与差商的关系 138
4.4.3等距节点插值公式 139
4.5埃尔米特插值公式 141
4.5.1一般情形的埃尔米特插值问题 141
4.5.2特殊情况的埃尔米特插值问题 144
4.6分段低次插值 146
4.7三次样条插值方法 148
4.7.1三次样条插值的基本概念 148
4.7.2三弯矩插值法 . 150
4.7.3样条插值函数的误差估计 154习题 4 154第 5章函数逼近 156
5.1内积与正交多项式 156
5.1.1权函数 156
5.1.2内积定义及性质 157
5.1.3正交性 157
5.1.4正交多项式系的性质 .159
5.2常见正交多项式系 161
5.2.1勒让德多项式系 161
5.2.2第一类切比雪夫多项式系 163
5.2.3第二类切比雪夫多项式系 164
5.2.4拉盖尔多项式系 165
5.2.5埃尔米特多项式系 166
5.3最佳一致逼近 167
5.3.1最佳一致逼近概念 167
5.3.2最佳逼近多项式的存在性及唯一性 167
5.3.3最佳逼近多项式的构造 169
5.4最佳平方逼近 173
5.4.1最佳平方逼近的概念 .173
5.4.2最佳平方逼近函数的求法 174
5.4.3正交多项式作基函数的最佳平方逼近 . 177
5.5曲线拟合的最小二乘法 179
5.5.1最小二乘曲线拟合问题的求解及误差分析 180
5.5.2多项式拟合的求解过程 181
5.5.3正交函数系的最小二乘曲线拟合 183
5.5.4用最小二乘法求解超定方程组 185习题 5 188第 6章矩阵特征值与特征向量的数值算法 . 189
6.1预备知识 .189
6.2乘幂法 190
6.2.1主特征值与主特征向量的计算 190
6.2.2加速收敛技术 . 196
6.3反幂法 198
6.4雅可比方法 200
6.5 QR方法 207
6.5.1反射矩阵 208
6.5.2平面旋转矩阵 . 211
6.5.3矩阵的 QR分解 214
6.5.4豪斯霍尔德方法 216
6.5.5 QR方法的收敛性 218
6.6对称三对角矩阵特征值的计算 218
6.6.1对称三对角矩阵的特征多项式序列及其性质 .218
6.6.2实对称三对角矩阵特征值的计算 223习题 6 225第 7章数值积分及数值微分 226
7.1数值积分的基本概念 . 226
7.1.1数值求积的基本思想 .226
7.1.2插值型求积公式 228
7.1.3代数精度 228
7.2牛顿–柯特斯求积公式 233
7.2.1牛顿 –柯特斯公式 . 233
7.2.2几个低阶求积公式 235
7.3复化求积方法 237
7.3.1复化求积公式 . 237
7.3.2变步长求积公式 240
7.4龙贝格求积公式 242
7.4.1龙贝格求积公式的推导 242
7.4.2龙贝格求积算法的计算步骤 244
7.5高斯型求积公式 245
7.5.1高斯型求积公式的理论 245
7.5.2几个常用高斯型求积公式 247
.7.6二重积分的求积公式 253
7.7数值微分 .258
7.7.1插值法 258
7.7.2泰勒展开法 261
7.7.3待定系数法 261习题 7 262第 8章常微分方程的数值解法 . 263
8.1引言 263
8.2欧拉方法及其改进 264
8.2.1欧拉公式 264
8.2.2单步法的局部截断误差和阶 266
8.3龙格–库塔方法 . 269
8.3.1龙格 –库塔方法的基本思想 270
8.3.2龙格 –库塔方法的推导 270
8.4线性多步法 275
8.4.1线性多步法的基本思想 275
8.4.2线性多步法的构造 277
8.5算法的稳定性及收敛性 283
8.5.1算法的稳定性 . 283
8.5.2算法的收敛性 . 286
8.6一阶常微分方程组与高阶方程 287
8.6.1一阶常微分方程组 287
8.6.2高阶微分方程 . 290
8.7微分方程求解的波形松弛方法 292
8.7.1微分方程初值问题的波形松弛方法 293
8.7.2微分方程初值问题波形松弛方法的收敛问题 .297
8.7.3微分方程边值问题的波形松弛方法 299
8.8微分方程边值问题的数值方法 303
8.8.1打靶方法 304
8.8.2有限差分方法 . 307习题 8 309第 9章电路方程的数值方法 311
9.1电路方程的基本概念和方法 311
9.1.1基本概念 311
9.1.2复相位分析 313
9.1.3刚性微分方程 . 314
9.2电路模拟的拉普拉斯变换方法 317
9.2.1拉普拉斯变换的定义与性质 317
9.2.2常用函数的拉普拉斯变换 318
9.2.3拉普拉斯变换在电路方程中的应用 321
9.2.4拉普拉斯变换的数值特征分解 323
9.3电路方程数值分析的基本方法 330
9.3.1数值分析方法 ——牛顿法 . 331
9.3.2雅可比矩阵的计算 339
9.3.3同伦延拓法 342
9.4电路方程瞬态分析的基本方法 346
9.4.1时间域分析 346
9.4.2初值问题的解法 352
9.4.3边值问题的解法 363
9.4.4数值方法的稳定性 367部分习题参考答案 374参考文献 382




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