变分法基础 第三版 作者:老大中 著出版时间:2015年版内容简介《变分法基础(第3版)》是变分法方面的专著,书中系统地介绍变分法的基本理论及其应用。 编写本书的目的是希望为高等院校的研究生和高年级大学生提供一本学习变分法课程的教材或教学参考书,使他们能够熟悉变分法的基本概念和计算方法。《变分法基础(第3版)》内容包括预备知识、固定边界的变分问题、可动边界的变分问题、泛函极值的充分条件、条件极值的变分问题、参数形式的变分问题、变分原理、变分问题的直接方法、力学中的变分原理及其应用以及含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题。其中许多内容是作者多年来的研究成果,特别是提出完全泛函的极值函数定理,统一了变分法中的各种欧拉方程,创立含向量、向量的模、任意阶张量和哈密顿算子的泛函的变分理论,给出相应的欧拉方程组及自然边界条件,扩大了变分法的应用范围。《变分法基础(第3版)》也可供有关专业的教师和科技人员参考。 《变分法基础(第3版)》概念清楚,逻辑清晰,内容丰富,深入浅出,便于自学,既注重方法的介绍,又不失数学的系统性、科学性和严谨性。书中列有大量例题和习题,并附有中英文索引。为了帮助读者解决学习中遇到的困难,《变分法基础(第3版)》给出了各章共315道习题的全部解答过程及答案,供读者参考。目录第1章 预备知识1.1 泰勒公式1.1.1 一元函数的情形1.1.2 多元函数的情形1.2 含参变量的积分1.3 场论基础1.3.1 方向导数及梯度1.3.2 向量场的通量和散度1.3.3 高斯定理与格林公式1.3.4 向量场的环量与旋度1.3.5 斯托克斯定理1.3.6 梯度、散度和旋度表示的统一高斯公式1.4 直角坐标与极坐标的坐标变换1.5 变分法基本引理1.6 求和约定、克罗内克尔符号和排列符号1.7 张量的基本概念1.7.1 直角坐标旋转变换1.7.2 笛卡儿二阶张量1.7.3 笛卡儿张量的代数运算1.7.4 张量的商定律1.7.5 二阶张量的主轴、特征值和不变量1.7.6 笛卡儿张量的微分运算1.8 常用不等式1.9 名家介绍习题1第2章 固定边界的变分问题2.1 古典变分问题举例2.2 变分法的基本概念2.3 最简泛函的变分与极值的必要条件2.4 最简泛函的欧拉方程2.5 欧拉方程的几种特殊类型及其积分2.6 依赖于多个一元函数的变分问题2.7 依赖于高阶导数的变分问题2.8 依赖于多元函数的变分问题2.9 完全泛函的变分问题2.10 欧拉方程的不变性2.11 名家介绍习题2第3章 泛函极值的充分条件3.1 极值曲线场3.2 雅可比条件和雅可比方程3.3 魏尔斯特拉斯函数与魏尔斯特拉斯条件3.4 勒让德条件3.5 泛函极值的充分条件3.5.1 魏尔斯特拉斯充分条件3.5.2 勒让德充分条件3.6 泛函的高阶变分3.7 名家介绍习题3第4章 可动边界的变分问题4.1 最简泛函的变分问题4.2 含有多个函数的泛函的变分问题4.3 含有高阶导数的泛函的变分问题4.3.1 泛函含有一个未知函数二阶导数的情形4.3.2 泛函含有一个未知函数多阶导数的情形4.3.3 泛函含有多个未知函数多阶导数的情形4.4 含有多元函数的泛函的变分问题4.5 具有尖点的极值曲线4.6 单侧变分问题4.7 名家介绍习题4第5章 条件极值的变分问题5.1 完整约束的变分问题5.2 微分约束的变分问题5.3 等周问题5.4 混合型泛函的极值问题5.4.1 简单混合型泛函的极值问题5.4.2 二维、三维和维问题的欧拉方程5.5 名家介绍习题5第6章 参数形式的变分问题6.1 曲线的参数形式及齐次条件6.2 参数形式的等周问题和测地线6.3 可动边界参数形式泛函的极值习题6第7章 变分原理7.1 集合与映射7.2 集合与空间7.3 标准正交系与傅里叶级数7.4 算子与泛函7.5 泛函的导数7.6 算子方程的变分原理7.7 与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题7.8 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题7.9 弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式7.10 名家介绍习题7第8章 变分问题的直接方法8.1 极小(极大)化序列8.2 欧拉有限差分法8.3 里茨法8.4 坎托罗维奇法8.5 伽辽金法8.6 最小二乘法8.7 算子方程的特征值和特征函数8.8 名家介绍习题8第9章 力学中的变分原理及其应用9.1 力学的基本概念9.1.1 力学系统9.1.2 约束及其分类9.1.3 实位移与虚位移9.1.4 应变与位移的关系9.1.5 功与能9.2 虚位移原理9.2.1 质点系的虚位移原理9.2.2 弹性体的广义虚位移原理9.2.3 弹性体的虚位移原理9.3 最小势能原理9.4 余虚功原理9.5 最小余能原理9.6 哈密顿原理及其应用9.6.1 质点系的哈密顿原理9.6.2 弹性体的哈密顿原理9.7 哈密顿正则方程9.8 赫林格-赖斯纳广义变分原理9.9 胡海吕鹫津久-郎广义变分原理9.10 莫培督-拉格朗日最小作用量原理9.11 名家介绍习题9第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题10.1 张量内积运算的基本性质与含张量的泛函变分基本引理10.2 含向量、向量的模和哈密顿算子的泛函的欧拉方程10.3 梯度型泛函的欧拉方程10.4 散度型泛函的欧拉方程10.5 旋度型泛函的欧拉方程10.6 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题10.6.1 并联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导10.6.2 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件10.6.3 含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的算例10.6.4 含并联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程10.6.5 其他含并联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程10.7 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函变分问题10.7.1 串联式内积张量的梯度、散度和旋度变分公式推导10.7.2 含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程及自然边界条件10.7.3 含串联式内积张量和哈密顿算子串的泛函的欧拉方程10.7.4 其他含串联式内积张量和哈密顿算子的泛函的欧拉方程10.8 结j沦10.9 名家介绍习题10附录1 习题全解第1章 预备知识习题解第2章 固定边界的变分问题习题解第3章 泛函极值的充分条件习题解第4章 可动边界的变分问题习题解第5章 条件极值的变分问题习题解第6章 参数形式的变分问题习题解第7章 变分原理习题解第8章 变分问题的直接方法习题解第9章 力学中的变分原理及其应用习题解第10章 含向量、张量和哈密顿算子的泛函变分问题习题解附录2 索引参考文献 上一篇: 概率论和随机过程(原书第2版 英文版) 下一篇: 概率论与数理统计 [魏艳华,王丙参 编著] 2013年版