数学分析讲义

数学分析讲义
前言
数学分析的核心内容是微积分。微积分的发展大体上经过了三个阶段。牛顿
（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）在继承公元15–16 世纪以来许多杰出数学家的成
果的基础上，将微积分发展成了一门独立的学问，微积分被用来解决天文、力学、
工程等方面的大量实际问题。19 世纪初，由于科学技术进步的推动，为微积分建
立牢固基础的要求十分迫切。经过近二百年的努力，到19 世纪五六十年代，柯西
（Cauchy）, 黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等建立了严格的极限理
论，并用极限的语言严格地证明了微积分的所有定义和定理，为微积分的普及创立
了更加有利的条件。到20 世纪初，格拉斯曼（Grassmann），庞加莱（Poincar´e）和
嘉当（Cartan）等人又发展了外微分形式的语言，并利用外微分形式的语言把微分
和积分这一对矛盾统一在斯托克斯（Stokes）积分公式中，这就使得牛顿和莱布尼
兹的微积分基本公式达到了一个统一的新高度，以后的发展就属于近代数学的范
畴了。
本书在内容的编排上试图展现微积分发展各阶段的重要成果，并适当地采用
现代数学的思想方法和观点处理经典的分析问题。下面对本书主要内容作一简要
介绍。由于数学分析是非常成熟的一门基础课程，我们只着重于介绍和传统教材有
较大差别的地方。
在第一章中我们